高中數(shù)學(xué)：等差數(shù)列求和公式 求和的七種辦法，你都市了嗎？

數(shù)學(xué)大師

文章泉源：高中數(shù)學(xué)

等差數(shù)列是稀有數(shù)列的一種，可以用AP表現(xiàn)，假如一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差即是同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表現(xiàn)。

等差數(shù)列求和公式

1.公式法

2.錯(cuò)位相減法

3.求和公式

4.分組法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列得當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或稀有的數(shù)列，然后分散求和，再將其兼并即可.

5.裂項(xiàng)相消法

實(shí)用于分式情勢(shì)的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的情勢(shì)，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加時(shí)抵消正中的很多項(xiàng)。

【小結(jié)】此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，此中正中的大局部項(xiàng)都互相抵消了。只剩下僅限的幾項(xiàng)。
注意：余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)1、余下的項(xiàng)前后的地點(diǎn)前后是對(duì)稱的。2、余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。

6.數(shù)學(xué)總結(jié)法

尋常地，證實(shí)一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步調(diào)：（1）證實(shí)當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題建立；（2）假定當(dāng)n=k（k≥n的第一個(gè)值，k為天然數(shù)）時(shí)命題建立，證實(shí)當(dāng)n=k+1時(shí)命題也建立。

【例】求證：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

證實(shí)：當(dāng)n=1時(shí)，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假定命題在n=k時(shí)建立，

于是：1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

則當(dāng)n=k+1時(shí)有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1時(shí)原等式仍舊建立，總結(jié)得證

7.并項(xiàng)求和法

（常接納先嘗試后求和的辦法）【例】1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

辦法一：（并項(xiàng)）求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，再相減。

辦法二：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

辦法三：布局新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合。an=n(-1)^（n+1）

等差數(shù)列推斷及其實(shí)質(zhì)

等差數(shù)列的推斷
（1）a(n+1)--a(n)=d (d為常數(shù)、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數(shù)]等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。
（2）2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。
（3）a(n)=kn+b [k、b為常數(shù),n∈N*] 等價(jià)于{a(n)}成等差數(shù)列。
（4）S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數(shù)，A不為0，n ∈N* ]等價(jià)于{a(n)}為等差數(shù)列。

特別實(shí)質(zhì)
在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相稱的兩項(xiàng)和相稱。并且即是首末兩項(xiàng)之和；特別的，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，還即是正中項(xiàng)的2倍,即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

【例】數(shù)列：1，3，5，7，9，11中

a(1)+a(6)=12 ;

a(2)+a(5)=12 ;

a(3)+a(4)=12 ;

即，在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相稱的兩項(xiàng)和相稱。并且即是首末兩項(xiàng)之和。

數(shù)列：1，3，5，7，9中

a(1)+a(5)=10 ;

a(2)+a(4)=10 ;

a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ;

即，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，和即是正中項(xiàng)的2倍，另見(jiàn)，等差中項(xiàng)。

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