臺球幾多：看似簡便實(shí)則繁復(fù)的數(shù)學(xué)天下

看似簡便的臺球活動，眼前卻隱蔽著繁復(fù)的數(shù)學(xué)奧妙。本文探究了不同外形臺球桌上的臺球活動軌跡，從簡便的矩形到繁復(fù)的三角形，先容了數(shù)學(xué)家們?yōu)槠平膺@些謎題所做的積極和取得的歷程。

迪士尼1959年的影戲《唐老鴨數(shù)學(xué)奇幻之旅》中，唐老鴨受教學(xué)員對臺球幾多形貌的啟示，充溢活力地?fù)舸蚯驐U，將球送入球桌周圍彈射，最初才擊中目標(biāo)球。唐老鴨問道：“你以為這跟數(shù)學(xué)有關(guān)嗎？”

由于矩形臺球桌的四周墻呈直角相交，像唐老鴨如此的臺球軌跡是可以猜測和了解的，即使在實(shí)踐中很難完成。但是，研討數(shù)學(xué)家仍舊無法回復(fù)其他多邊形(具有平展面的外形)臺球桌上的基本軌跡成績。即使是最簡便的多邊形——三角形，也仍舊存在著謎團(tuán)。

球?qū)Ψ窨偰軗糁幸粋€點(diǎn)，使其以相反的朝向前往到起始點(diǎn)，從而創(chuàng)建一個所謂的周期軌道？沒有人曉得。關(guān)于其他更繁復(fù)的外形，從桌子的任何一點(diǎn)擊球到桌子的任何其他一點(diǎn)對否約莫，這也是未知的。

只管這些成績仿佛與高中幾多教學(xué)的內(nèi)容嚴(yán)密干系，但試圖處理它們必要天下上最出色的數(shù)學(xué)家引入來自散伙動力體系、拓?fù)鋵W(xué)和微分幾多么不同范疇的頭腦。與任何宏大的數(shù)學(xué)成績一樣，處理這些成績的事情創(chuàng)造了新的數(shù)學(xué)，并反過去推進(jìn)了這些其他范疇的知識提高。但是，只管奉獻(xiàn)了一切積極，以及古代盤算機(jī)帶來的洞察力，這些看似簡便的問題仍舊堅(jiān)強(qiáng)地反抗處理。

以下是一些數(shù)學(xué)家自唐老鴨史詩般糾結(jié)的射門以來對臺球的了解。

他們通常假定他們的臺球是一個無窮小的無維點(diǎn)，并且它以完善的對稱性從墻壁上反彈，分開時與抵達(dá)時的角度相反，如下所示。

假如沒有摩擦，球會無窮期地挪動，除非它抵達(dá)一個角落，這會像球袋一樣中止球。臺球云云難以用數(shù)學(xué)分析的緣故是，兩個幾乎相反的球落在角落的兩側(cè)約莫會有完全不同的軌跡。

分析多邊形臺球的一個緊張辦法不是將球想象成從桌邊彈射，而是想象每次球撞到墻上，它都市持續(xù)進(jìn)入一個翻轉(zhuǎn)邊沿的新抄本桌子，產(chǎn)生鏡像。這個歷程(見下文)稱為臺球途徑的掀開，使球可以以直線軌跡持續(xù)。經(jīng)過將想象的桌子折疊回其鄰人上，您可以規(guī)復(fù)球的實(shí)踐軌跡。這種數(shù)學(xué)本事可以證實(shí)一些軌跡，不然很丟臉到。

比如，它可以用來展現(xiàn)為什么簡便的矩形桌子經(jīng)過每個點(diǎn)具有無量多個周期軌跡。相似的論證實(shí)用于任何矩形，但為了具體分析，想象一張寬是長兩倍的桌子。

假定您想找到一個周期軌道，該軌道在長朝向上穿過 n 次桌子，在短朝向上穿過 m 次。由于矩形的每個鏡像都對應(yīng)于球從墻上反彈，因此為了使球以相反的朝向前往到其起始點(diǎn)，其軌跡必需在兩個朝向上都穿過偶數(shù)次。因此，m 和 n 必需是偶數(shù)。安插一個由相反矩形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個矩形都被視為其鄰人的鏡像。從原始桌子上的一個點(diǎn)到長朝向上 n 個桌子，短朝向上 m 個桌子遠(yuǎn)處的抄本上的相反點(diǎn)繪制一條線段。假如途徑穿過角落，請略微調(diào)停原始點(diǎn)。這里是一個示例，此中 n = 2 和 m = 6。折疊后，該途徑產(chǎn)生一個周期軌跡，如綠色矩形所示。

三角形不等式

三角形臺球沒有矩形的直角幾多那么好，以是它更繁復(fù)。正如您約莫從高中幾多中記取的，有幾種三角形：銳角三角形，一切三個內(nèi)角都小于 90 度；直角三角形，有一個 90 度角；鈍角三角形，有一個角大于 90 度。

外形像銳角和直角三角形的臺球桌具有周期軌跡。但沒有人曉得鈍角三角形對否也一樣。

要找到銳角三角形中的周期軌跡，請從每個極點(diǎn)向相對側(cè)繪制一條垂直線，如下左側(cè)所示。將直角產(chǎn)生的場合的點(diǎn)毗連起來構(gòu)成一個三角形，如下右側(cè)所示。

這個內(nèi)切三角形是一個周期臺球軌跡，稱為法格納諾軌道，以喬瓦尼·法格納諾定名，他在 1775 年證實(shí)白這個三角形具有一切內(nèi)切三角形中最小的周長。

在 1990 年代初，華盛頓大學(xué)的弗雷德·霍爾特和莫斯科國立大學(xué)的格雷戈里·加爾佩林及其互助者獨(dú)立證實(shí)白每個直角三角形都具有周期軌道。一種簡便的辦法是將三角形繞一條腿反射，然后再繞另一條腿反射，如下所示。

從一個垂直于斜邊(三角形最長邊)的軌跡開頭。斜邊及其第二次反射是平行的，因此毗連它們的垂直線段對應(yīng)于一個往返彈跳的軌跡：球以直角分開斜邊，從兩條腿反彈，以直角前往斜邊，然后前往其路途。

但鈍角三角形仍舊是一個謎。在他們 1992 年的論文中，加爾佩林及其互助者提出了一種在鈍角三角形中反射的辦法，可以創(chuàng)建周期軌道，但這些辦法只實(shí)用于一些特別情況。然后，在 2008 年，布朗大學(xué)的理查德·施瓦茨證實(shí)白一切角度在 100 度或以下的鈍角三角形都包含一個周期軌跡。他的辦法是將成績分析成多個案例，并使用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和盤算機(jī)幫助驗(yàn)證每個案例。2018 年，阿爾伯塔大學(xué)的雅各布·加伯、博揚(yáng)·馬里諾夫、肯尼斯·摩爾和喬治·托卡爾斯基將這一閾值擴(kuò)展到 112.3 度。(托卡爾斯基和馬里諾夫花了十多年來追逐這個目標(biāo)。)

拓?fù)滢D(zhuǎn)機(jī)

另一種辦法已被用來證實(shí)，假如一切角度都是有理數(shù)，即可以表現(xiàn)為分?jǐn)?shù)，那么具有更大角度的鈍角三角形必需具有周期軌跡。該辦法不是簡便地在平面上復(fù)制多邊形，而是將多邊形的抄本映射到拓?fù)渫獗恚匆粋€或多個洞的甜甜圈。

假如您將矩形沿其短邊反射，然后將兩個矩形沿其最長邊反射，制造四個原始矩形的版本，然后將頂部和底部粘合在一同，將支配粘合在一同，您將取得一個甜甜圈或圓環(huán)，如下所示。桌子上的臺球軌跡對應(yīng)于圓環(huán)上的軌跡，反之亦然。

在 1986 年的一篇具有里程碑意義的文章中，霍華德·馬蘇爾使用這種武藝證實(shí)白一切具有有理角的多邊形桌子都具有周期軌道。他的辦法不僅實(shí)用于鈍角三角形，也實(shí)用于更繁復(fù)的外形：不端正的 100 邊桌子，或墻壁呈鋸齒狀的外形，只需角度是有理數(shù)，就存在周期軌道。

值得注意的是，多邊形中存在一個周期軌道意味著存在無量多個周期軌道；略微改動軌跡將產(chǎn)生一系列干系的周期軌跡。

照明成績

具有凹角和凸角的外形會引發(fā)一個干系成績。與其問那些回到出發(fā)點(diǎn)??的軌跡，這個成績問的是軌跡對否可以拜候給定桌子上的每個點(diǎn)。這被稱為照明成績，由于我們可以將其了解為想象一束激光從包抄臺球桌的鏡面墻上反射。我們要問的是，關(guān)于特定桌子上的兩個點(diǎn)，對否可以一直將激光(抱負(fù)化為無窮細(xì)的光源)從一個點(diǎn)照射到另一個點(diǎn)。換句話說，假如我們在桌子的某個點(diǎn)安排一個燈膽，它會向各個朝向照射，它會照亮整個房間嗎？

對這個成績有兩個主要的研討朝向：找到無法照明的外形，并證實(shí)多量外形可以被照亮。固然可以經(jīng)過奇妙使用簡便的數(shù)學(xué)來找到無法照明的奇異外形，但證實(shí)很多外形可以被照亮僅有經(jīng)過使用強(qiáng)壯的數(shù)學(xué)東西才成為約莫。

1958 年，厥后取得 2020 年諾貝爾物理學(xué)獎的數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯發(fā)覺了一張曲面桌子，此中一個地區(qū)的任何點(diǎn)都無法照亮另一個地區(qū)的任何點(diǎn)。幾十年來，沒有人可以找到具有相反屬性的多邊形。但在 1995 年，托卡爾斯基使用三角形的簡便內(nèi)幕創(chuàng)建了一個 26 邊的塊狀多邊形，此中兩點(diǎn)互相不成達(dá)，如下所示。也就是說，從一個點(diǎn)發(fā)射的激光束，無論其朝向怎樣，都無法擊中另一個點(diǎn)。

托卡爾斯基在構(gòu)建他的特別桌子時使用的一個緊張頭腦是，假如激光束從 45°-45°-90° 三角形的此中一個銳角開頭，它永久不會前往到誰人角。

他的鋸齒形桌子由 29 個如此的三角形構(gòu)成，奇妙地使用了這一內(nèi)幕。2019 年，事先照舊特拉維夫大學(xué)的研討生阿米特·沃萊茨基使用了相反的武藝來天生一個 22 邊的外形(如下所示)。現(xiàn)在尚不清晰對否存在更少的邊數(shù)的外形。

證實(shí)另一個朝向的后果要困憂傷多。2014 年，斯坦福大學(xué)的數(shù)學(xué)家瑪麗亞姆·米爾扎哈尼成為第一位取得菲爾茲獎(數(shù)學(xué)界最負(fù)盛名的獎項(xiàng))的女性，由于她在黎曼曲面的模空間方面的事情，這是一種對馬蘇爾用來證實(shí)一切具有有理角的多邊形桌子都具有周期軌跡的甜甜圈的歸納。2016 年，巴黎-薩克雷大學(xué)的塞繆爾·勒利埃弗、法國國度封建研討中央的蒂埃里·蒙泰伊和特拉維夫大學(xué)的巴拉克·魏斯使用了米爾扎哈尼的很多后果，證實(shí)白有理多邊形中的任何一點(diǎn)都照亮了除僅限多個點(diǎn)之外的一切點(diǎn)。約莫存在伶仃的暗點(diǎn)(如托卡爾斯基和沃萊茨基的例子所示)，但不存在像彭羅斯例子中那樣具有彎曲壁而不是直壁的暗地區(qū)。在沃萊茨基 2019 年的文章中，他經(jīng)過證實(shí)只存在僅限對不成照亮的點(diǎn)對，加強(qiáng)了這一后果。

遺憾的是，米爾扎哈尼于 2017 年年僅 40 歲時因癌癥去世。她的事情仿佛與臺球室里的花式擊球相去甚遠(yuǎn)。但是，分析臺球軌跡標(biāo)明，即使是最籠統(tǒng)的數(shù)學(xué)也可以與我們生存的實(shí)際天下接洽起來。

本文譯自 Quanta Magazine，由 超載雞 編纂公布。